【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)ex﹣+
x,其中
∈R,e是自然对数的底数.
(1)当>0时,讨论函数f(x)在(1,+∞)上的单调性;
(2)若函数g(x)=f(x)+2﹣
,证明:使g(x)≥0在
上恒成立的实数a能取到的最大整数值为1.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)讨论的范围,判断f
(x)的符号,得出f(x)的单调性;
(2)分别计算=1和
=2时g(x)的最小值,判断g(x)的最小值的符号得出结论.
(1)f(x)=ex+(x﹣2)ex﹣
x+
=(x﹣1)(ex﹣
),令f
(x)=0解得x=ln
,
①若ln≤1,即0<
≤e,则f
(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增;
②若ln>1,即
>e,则当1<x<ln
时,f′(x)<0,当x>ln
时,f
(x)>0,
∴f(x)在(1,ln)上单调递减,在(ln
,+∞)上单调递增,
(2)g(x)=ex+(x﹣2)ex﹣x+2,
①当=1时,g(x)=ex+(x﹣2)ex﹣x+2,
=xex﹣1,
=(x+1)ex,
∴当x<﹣1时,<0,当x>﹣1时,
>0,
∴在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在(﹣1,+∞)上单调递增,
∴的最小值为g
(﹣1)=﹣
﹣1<0,
又当x<0时,<0,g
(0)=﹣1,g
(ln2)=2ln2﹣1>0,
∴存在唯一一个实数x0∈(0,ln2),使得g(x0)=0,即x0
=1.
∴g(x)在(﹣∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
∴g(x)的最小值为g(x0)=+x0
﹣
﹣x0+2=3﹣(
+x0),
∵0<x0<ln2,∴1<<2,∴
+x0<2+ln2<3,∴g(x0)=3﹣(
+x0)>0,
∴当=1时,g(x)≥0在R上恒成立.
②当=2时,g(x)=ex+(x﹣2)ex﹣2x+2,
=xex﹣2,g
(x)=(x+1)ex,
由①可知在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在(﹣1,+∞)上单调递增,
的最小值为g
(﹣1)=﹣
﹣2<0,且当x<0时,
<0,g
(ln2)=2ln2﹣2<0,g
(1)=e﹣2>0,
∴存在唯一一个实数x0∈(ln2,1),使得g(x0)=0,即x0
=2.
∴g(x)在(﹣∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
∴g(x)的最小值为g(x0)=+x0
﹣
﹣2x0+2=4﹣(
+2x0),
∵ln2<x0<1,∴2<<e,∴
+2x0>2+2ln2>4,∴g(x0)=3﹣(
+x0)<0,
∴当=2时,g(x)≥0在R上不恒成立.
综上,实数能取到的最大整数值为1.
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【题目】从某企业的某种产品中抽取件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差
(同一组数据用该区间的中点值作代表,记作
,
);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)若使的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准,则合格标准的质量指标值大约为多少?
(ii)若该企业又生产了这种产品件,且每件产品相互独立,则这
件产品质量指标值不低于
的件数最有可能是多少?
附:参考数据与公式:,
;若
,则①
;②
;③
.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠AOC=120°,PA⊥平面ABC,AB=4,PA=2,D是PC的中点,点M是⊙O上的动点(不与A,C重合).
(1)证明:AD⊥PB;
(2)当三棱锥D﹣ACM体积最大时,求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值.
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【题目】某小学对五年级的学生进行体质测试,已知五年一班共有学生30人,测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图(单位:):男生成绩在175
以上(包括175
)定义为“合格”,成绩在175
以下(不包括175
)定义为“不合格”.女生成绩在165
以上(包括165
)定义为“合格”,成绩在165
以下(不包括165
)定义为“不合格”.
(1)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数;
(2)在五年一班的男生中任意选取3人,求至少有2人的成绩是合格的概率;
(3)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试,用表示其中男生的人数,写出
的分布列,并求
的数学期望.
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【题目】已知函数(
为常数,
且
),且数列
是首项为
,公差为
的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,当
时,求数列
的前
项和
的最小值;
(3)若,问是否存在实数
,使得
是递增数列?若存在,求出
的范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知无穷数列的前n项和为
,记
,
,…,
中奇数的个数为
.
(Ⅰ)若= n,请写出数列
的前5项;
(Ⅱ)求证:"为奇数,
(i = 2,3,4,...)为偶数”是“数列
是单调递增数列”的充分不必要条件;
(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求数列
的通项公式.
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