【题目】已知函数在
与
时都取得极值;
(1)求的值与函数
的单调区间;
(2)若对,不等式
恒成立,求
的取值范围
【答案】(1)a=,b=-2,递增区间是(-,-
)与(1,+)递减区间是(-
,1)(2)c-1或c2
【解析】 试题分析:(1)根据极值定义得f()=0,f(1)=0,解方程组可得
的值,再列表根据导函数符号确定单调区间(2)不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题:f(x)最大值c2,根据(1)可得f(x)最大值为f(2),解不等式可得
的取值范围
试题解析:解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
由f()=
,f(1)=3+2a+b=0得
a=,b=-2
f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x | (-,- | - | (- | 1 | (1,+) |
f(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 极大值 | 极小值 |
所以函数f(x)的递增区间是(-,- )与(1,+)
递减区间是(-,1)
(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x〔-1,2〕,当x=-
时,f(x)=
+c
为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。
要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c
解得c-1或c2
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【题目】如图,D、E分别是△ABC的边BC的三等分点,设 =m,
=n,∠BAC=
.
(1)用 、
分别表示
,
;
(2)若
=15,|
|=3
,求△ABC的面积.
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【题目】数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N* .
(1)证明:数列{ }是等差数列;
(2)设bn=3n ,求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线
相交于不同的两点
,
,与抛物线
的准线相交于不同的两点
,
,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若不经过坐标原点的直线
与抛物线
相交于不同的两点
,
,且满足
.证明直线
过定点
,并求出点
的坐标.
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【题目】定义非零向量的“相伴函数”为
(
),向量
称为函数
的“相伴向量”(其中
为坐标原点),记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
.
(1)已知(
),求证:
,并求函数
的“相伴向量”模的取值范围;
(2)已知点(
)满足
,向量
的 “相伴函数”
在
处取得最大值,当点
运动时,求
的取值范围.
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【题目】某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图),设计要求彩门的面积为S (单位:m2)高为h(单位:m)(S,h为常数),彩门的下底BC固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架的长度和记为l.
(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);
(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.
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【题目】北京市某年11月1日—20日监测最高最低温度及差值数据如下:
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
最高温度(℃) | 20 | 16 | 14 | 20 | 20 | 20 | 18 | 15 | 12 | 11 | 12 | 12 | 13 | 9 | 8 | 6 | 13 | 11 | 10 | 14 |
最低温度(℃) | 5 | 4 | 2 | 4 | 9 | 6 | 9 | 3 | -1 | 0 | 5 | 1 | 4 | -1 | -4 | -2 | -1 | 0 | 1 | 3 |
差值(℃) | 15 | 12 | 12 | 16 | 11 | 14 | 9 | 12 | 13 | 11 | 7 | 11 | 9 | 10 | 12 | 8 | 14 | 11 | 9 | 11 |
(Ⅰ)完成下面的频率分布表及频率分布直方图,并写出频率分布直方图中的值;
(Ⅱ)从日温差大于等于的这些天中,随机选取2天.求这两天中至少有一天的温差在区间
内的概率.
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