【题目】已知函数是
上的奇函数.
(1)求实数的值;
(2)若,则不等式
在
上有解,求实数
的取值范围;
(3)若且
在
上的最小值为
,求
的值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由题意得出,求出
的值,然后再利用奇函数的定义验证函数
为奇函数即可;
(2)由可得出
,分析出函数
在
上为增函数,再由
为奇函数,由
得出关于
的不等式
在
上有解,可得出
,即可求出实数
的取值范围;
(3)由且
,可得出
,可得出
,换元
,可得出
,然后对
分
和
,分析二次函数
在区间
上的单调性,结合题中条件可求出实数
的值.
(1)函数
是
上的奇函数,
,
,
当时,
,定义域为
,关于原点对称,
且,此时函数
为奇函数,因此,
;
(2)由(1)可知,又
,
,解得
.
则函数在
上为增函数,函数
在
上为减函数,
函数
在
上是增函数且为奇函数,
由,得
在
上有解,
在
上有解,即
在
上有解,
,解得
或
.
因此,实数的取值范围是
;
(3),即
,
且
,解得
.
,令
,又
,则
.
,
.
则,令
,
二次函数图象的对称轴为直线
.
①当时,函数
在
为增函数,
,即
不合乎题意;
②当时,
在
为增函数,在
为减函数,
,
满足.
综上所述,.
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【题目】已知函数.
(1)当时,解不等式
;
(2)画出该函数的图象,并写出该函数的单调区间(不用证明);
(3)若函数恰有3个不同零点,求实数
的取值范围.
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【题目】在一次体能测试中,某研究院对该地区甲、乙两学校做抽样调查,所得学生的测试成绩如下表所示:
(1)将甲、乙两学校学生的成绩整理在所给的茎叶图中,并分别计算其平均数;
(2)若在乙学校被抽取的10名学生中任选3人检测肺活量,求被抽到的3人中,至少2人成绩超过80分的概率;
(3)以甲学校的体能测试情况估计该地区所有学生的体能情况,则若从该地区随机抽取4名学生,记测试成绩在80分以上(含80分)的人数为,求
的分布列及期望.
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【题目】已知双曲线的左,右焦点分别为
,若双曲线上存在点
,使
,则该双曲线的离心率
范围为( )
A. (1,1) B. (1,1
) C. (1,1
] D. (1,1
]
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【题目】对于函数,若
,则称
为
的“不动点”;若
,则称
为
的“稳定点”.函数
的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
和
,即
,
.
()设函数
,求集合
和
.
()求证:
.
()设函数
,且
,求证:
.
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【题目】以下判断正确的是 ( )
A. 函数为
上的可导函数,则
是
为函数
极值点的充要条件
B. 若命题为假命题,则命题
与命题
均为假命题
C. 若,则
的逆命题为真命题
D. 在中,“
”是“
”的充要条件
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