Question

12．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解周期；
（2）求出相位的范围，然后利用三角函数的有界性求解最值．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1
=sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$+sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$+cos2x
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$$sin（2x+\frac{π}{4}）$
∴$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，$sin（2x+\frac{π}{4}）$∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
f（x）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值为-1；最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．