Question

3．已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$2sinC，\sqrt{sinB}，cosA$成等比数列，b=$\frac{2}{3}$a，2≤$\frac{1}{2}$c²+$\frac{3}{2}$ac≤18，则$\frac{{4{{（c+1）}^2}}}{{9\sqrt{2}S+16a}}$的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由$2sinC，\sqrt{sinB}，cosA$成等比数列，可得sinB=2sinCcosA，利用正弦定理余弦定理可得：b=2c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，化为：c=a．可得sinB=2sinCcosA，S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}$$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{b}^{2}}}{2}$．由$b=\frac{2}{3}a$，可得S=$\frac{2\sqrt{2}{a}^{2}}{9}$．由$2≤\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{3}{2}ac≤$18，可得1≤a≤3．代入$\frac{{4{{（c+1）}^2}}}{{9\sqrt{2}S+16a}}$，再利用导数研究其单调性最值即可得出．

解答 解：∵$2sinC，\sqrt{sinB}，cosA$成等比数列，
∴sinB=2sinCcosA，
∴b=2c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
化为：c=a．
∴sinB=2sinCcosA=2×$\frac{\sqrt{{a}^{2}-（\frac{b}{2}）^{2}}}{a}$×$\frac{\frac{b}{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{b}^{2}}}{{a}^{2}}$，
S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{b}^{2}}}{4}$．
∵$b=\frac{2}{3}a$，
∴S=$\frac{2\sqrt{2}{a}^{2}}{9}$．
∵$2≤\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{3}{2}ac≤$18，
∴2≤2a²≤18，
∴1≤a≤3．
则$\frac{{4{{（c+1）}^2}}}{{9\sqrt{2}S+16a}}$=$\frac{4（a+1）^{2}}{9\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}{a}^{2}}{9}+16a}$=$\frac{（a+1）^{2}}{{a}^{2}+4a}$=1-$\frac{2a-1}{{a}^{2}+4a}$．
令f（a）=$\frac{2a-1}{{a}^{2}+4a}$，则f′（a）=$\frac{-2（a-2）（a+1）}{（{a}^{2}+4a）^{2}}$，
∵1≤a≤3．
可知：当a=2时，f（a）取得最大值，f（2）=$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{4{{（c+1）}^2}}}{{9\sqrt{2}S+16a}}$的最小值为1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．