Question

19．在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{a}$，在一个最小正周期长的区间上的图象与函数$g（x）=\sqrt{{a^2}+1}$的图象所围成的封闭图形的面积是$\frac{2π}{a}\sqrt{{a}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期
（2）由三角函数的图象的对称性，把要求的面积转化为长度为$\frac{2π}{a}$，宽度为$2\sqrt{{a}^{2}+1}$矩形的面积的一半来解决；或者利用定积分的意义转化为定积分${∫}_{Φ}^{Φ}\sqrt{{a}^{2}+1}[1-sin（ax+∅）]{d}_{x}$来求解．

解答 解：（1）由f（x）=asinax+cosax（a＞0）
?f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}sin（ax+∅）$，其中$tan∅=\frac{1}{a}$
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{a}$

（2）取长度为$\frac{2π}{a}$，宽度为$2\sqrt{{a}^{2}+1}$矩形，根据三角函数的图象的对称性，所围成的封闭图形的面积为矩形的一半，
∴${S}_{矩形}=\frac{2π}{a}×2\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{4π}{a}\sqrt{{a}^{2}+1}$；
所以：$\frac{1}{2}{S}_{矩形}=\frac{2π}{a}\sqrt{{a}^{2}+1}$；
故答案为：$\frac{2π}{a}\sqrt{{a}^{2}+1}$．

点评 本题考虑了利用辅助角公式化简三角函数的问题和三角函数的图象和性质的运用．同时考查了曲线围成图形的面积，一般采用定积分或者利用图象的对称性解决．属于基础题．