Question

如图椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点．作平行四边形OCED，E恰在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为

6

，求椭圆的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵焦点为F（c，0），AB斜率为

b

a

，故CD方程为y=

b

a

（x-c）．与椭圆联立后消去y得2x²-2cx-b²=0．
∵CD的中点为G（

c

2

，-

bc

2a

），点E（c，-

bc

a

）在椭圆上，
∴将E（c，-

bc

a

）代入椭圆方程并整理得2c²=a²，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD的方程为y=

2

2

（x-c），b=c，a=

2

c．
与椭圆联立消去y得2x²-2cx-c²=0．
∵平行四边形OCED的面积为：
S=c|y_C-y_D|=

2

2

c

(xC+xD)2-4xCxD

=

2

2

c

c2+2c2

=

6

2

c2=

6

，
∴c=

2

，a=2，b=

2

．
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．