Question

已知△ABC为正三角形，点A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点，则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为（　　）

A． 1 2

B． 1 4

C． 3 2

D． 3 3

Answer 1

不妨设正三角形ABC的边长为2，以AB所在的边为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则以A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点的椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
依题意，a=2，c=1，
∴b=

22-11

=

3

，
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，
∴椭圆的四个顶点连成的菱形的面积S=

1

2

×2a×2b=2ab=4

3

；
又S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|•sin60°=

3

，
∴该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为

3

4 3

=

1

4

．
故选B．