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(2手11•浙江)设F1,F2分别为椭圆
x2
3
+y2=1的焦点,点A,B在椭圆上,若
F1A
=5
F2B
;则点A的坐标是______.
方法1:直线右1A的反向延长线与椭圆交于点B'
又∵
1A
=5
hB

由椭圆的对称性,得
1A
=5
B′1

设A(x1,y1),B'(xh,yh
由于椭圆
xh
3
+yh=1
的a=
3
,b=1,c=
h

∴e=
c
a
=
h
3
=
6
3
,右1
h
,6).
|1A|=
6
3
|x1+
3
h
h
|

|1B′|=
6
3
|xh+
3
h
h
|

从而有:
6
3
|x1+
3
h
h
|=5×
6
3
|xh+
3
h
h
|

由于-
3
≤x1,xh
3

x1+
3
h
h
>6
xh+
3
h
h
>6

6
3
(
3
h
h
+x1)
=5×
6
3
(xh+
3
h
h
)

3
h
h
+x1
=5(xh+
3
h
h
)
. ①
又∵三点A,右1,B′共线,
1A
=5
B′1

∴(x1-(-
h
)
,y1-6)=5(-
h
-xh,6-yh
x1+
h
=5(-
h
-xh)
.②
由①+②得:x1=6.
代入椭圆的方程得:y1=±1,
∴点A的坐标为(6,1)或(6,-1)
&4bsp;方法h:因为右1,右h分别为椭圆
xh
3
+yh=1
的焦点,则1(-
h
,6),h(
h
,6)
,设A,B的坐标分别为A(xA,yA),B(xB,yB),
1A
=5
hB
;则
xA+
h
=5(xB-
h
)
yA=5yB
,所以
xB=
xA+6
h
5
yB=
yA
5

因为A,B在椭圆上,所以
xAh
3
+yAh=1
xBh
3
+yBh=1
,代入解得
xA=6
yA=1
xA=6
yA=-1

故A(6,±1).
故答案为:(6,±1).
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

△ABC中,已知B、C的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且△ABC的周长等于16,则顶点A的轨迹方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若方程
x2
a2
+
y2
a+6
=1
表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆
x2
9
+
y2
16
=1
的焦点坐标为(  )
A.(0,5)和(0,-5)B.(5,0)和(-5,0)C.(0,
7
)和(0,-
7
D.(
7
,0)和(-
7
,0)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知A,B,P为椭圆
x2
m2
+
y2
n2
=1(m,n>0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA•kPB=-2,则该椭圆的离心率为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知M是椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,I是△MF1F2的内心,延长MI交F1F2于N,则
|MI|
|NI|
等于______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,已知F1,F2是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为(  )
A.
3
2
B.
5
3
C.
6
3
D.
2
5
5

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的上顶点为A,左顶点为B,F为右焦点,过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点.作平行四边形OCED,E恰在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若平行四边形OCED的面积为
6
,求椭圆的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知F1,F2是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
的两个焦点,过F2的直线交椭圆于点A,B,若|AB|=5,则|AF1|-|BF2|等于(  )
A.3B.8C.13D.16

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