Question

10．下列命题中，真命题是（　　）

• A． ?x₀∈R，使e${\;}^{{x}_{0}}$＜x₀+1成立
• B． a，b，c∈R，a³+b³+c³=3abc的充要条件是a=b=c
• C． 对?x∈R，使2^x＜x²成立
• D． a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件

Answer 1

分析 A．根据特称命题的定义进行判断，
B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
C．根据全称命题的定义进行判断，
D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：A．设f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，
当f′（x）＞0时，x＞0，当f′（x）＜0时，x＜0，
即当x=0时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（0）=1-0-1=0，
即f（x）≥f（0）=0，即e^x-x-1≥0，则e^x≥x+1恒成立，故A错误，
B．a³+b³+c³-3abc=（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）²-c（a+b）+c²]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）=0，
则a+b+c=0，或a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，
则2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴只有（a-b）²=0，（a-c）²=0，（b-c）²=0，
∴a=b=c．故a³+b³+c³=3abc的充要条件是a=b=c或a+b+c=0，故B错误，
C．当x=0时，2^x＜x²不成立，故C错误，
D．设f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，则函数f（x）为增函数，则，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件，故D正确，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，利用函数思想是解．决本题的关键．综合性较强，有一定的难度