Question

已知函数，

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）当时，判断在上的单调性并用定义证明；

（3）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）当时，为偶函数，当时，无奇偶性；（2）在上递减；（3）.

【解析】

试题分析：（1）对于含有参数的函数要想到分情况讨论，当时，为偶函数，当时，由于且，所以无奇偶性.（2）通过用定义证明函数单调性，取两个数，使，然后证明出，得到在上递减.（3）恒成立等价于函数的最小值大于，只要求出的最小值，再解出不等式就可以得到实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，（），由于，所以为偶函数 2分

当时，由于且，所以无奇偶性.

综上：当时，为偶函数；当时，无奇偶性. 5分

当时，，

任取两个数，使，则

，，，，，

，所以在区间上是递减. 9分

（3）由题意可知：原题等价于，

由（2）知在区间上是递减，同样用定义法可证明在区间上是递增的，

所以在处取得最小值，， 12分

所以原不等式变为，即，

令，则不等式变为，解得，故，即，解得,所以实数的取值范围是. 16分

考点：1、函数的奇偶性.2、函数的单调性.3、函数在区间上最值问题.4、用换元法解不等式.