Question

给出下列命题：
（1）函数f（x）=tanx有无数个零点；
（2）若关于x的方程（(

1

2

)|x|-m=0有解，则实数m的取值范围是（0，1]；
（3）把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移

π

6

个单位后，得到的函数解析式可以表示成f（x）=2sin2（x+

π

6

）；
（4）函数f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[-1，1]；
（5）已知函数f（x）=2cosx，若存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为2π．
其中正确的命题有

3

个．

Answer 1

分析：（1）由正切函数f（x）=tanx的性质即可判断其正误；
（2）利用指数型函数y=(

1

2

)|x|的性质即可判断（2）的正误；
（3）由三角函数的图象变换即可知（3）的正误；
（4）利用函数f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的性质可求其值域，从而可知（4）的正误；
（5）利用余弦函数f（x）=2cosx的性质可判断（5）．

解答：解：（1）由y=tanx=0可得x=kπ（k∈Z），故函数f（x）=tanx有无数个零点，正确；
（2）∵(

1

2

)|x|-m=0有解?曲线y=(

1

2

)|x|与y=m有公共点，
∵指数型函数y=(

1

2

)|x|的值域为（0，1]，
∴实数m的取值范围是（0，1]，正确；
（3）∵f（x）=2sin2x，
∴把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移

π

6

个单位后，得f（x+

π

6

）=2sin2（x+

π

6

），故（3）正确；
（4）∵f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[0，1]，故（4）错误；
（5）不妨令x₁=π，x₂=0，满足对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，故|x₁-x₂|的最小值为π，
∴（5）错误．
综上所述，正确的命题有3个．
故答案为：3．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查正切函数的性质，考查指数型函数、三角函数的图象变换、正弦型函数与余弦函数的性质的综合应用，属于中档题．