【题目】设函数(
是自然对数的底数).
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)若在
内无极值,求
的取值范围;
(3)设,求证:
。
【答案】(1)在
,
单调递增,在
单调递减(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(1)先对函数求导,再运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解;(2)先将在问题进行转化,再分离参数,构造函数运用分类整合思想及导数知识分析求解;(3)依据题设条件运用数学归纳法进行推证:
解:(1)当时,
所以
当时,
当
时,
;
当时,
故在
,
单调递增,在
单调递减
(2)若在
内无极值,则
在
上单调,
又
①若在
上递减,则
,对
恒成立,于是有
,令
,
下面证明在
上单调递增:
令
,则
当时,
单调递减,
在
单调递增。
当时,由
是增函数,得
。
由,得
;
②若在
上单调递增,则
,对
恒成立,于是
,当
时,由
得
,从而增函数
,这样
。综上得
(3)用数学归纳法证明 ①当时,
,不等式成立;
②假设时不等式成立,即
,
当时,令
显然,由归纳假设,
对
成立,
所以 在
上单调递增,当
时,
,即当
时,不等式也成立。
综合①②时,不等式成立。
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【题目】如图是一块地皮,其中
,
是直线段,曲线段
是抛物线的一部分,且点
是该抛物线的顶点,
所在的直线是该抛物线的对称轴.经测量,
km,
km,
.现要从这块地皮中划一个矩形
来建造草坪,其中点
在曲线段
上,点
,
在直线段
上,点
在直线段
上,设
km,矩形草坪
的面积为
km2.
(1)求,并写出定义域;
(2)当为多少时,矩形草坪
的面积最大?
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【题目】设函数F(x)= ,其中f(x)=log2(x2+1),g(x)=log2(|x|+7).
(1)在实数集R上用分段函数形式写出函数F(x)的解析式;
(2)求函数F(x)的最小值.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+
=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求 的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
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【题目】已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为( )
A.10+4 ?+4
B.10+2 ?+4
??
C.14+2 ?+4
D.14+4 ?+4
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图,则f(x)的解析式和S=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(2014)+f(2015)+f(2016)的值分别为( )
A.f(x)= sin
x+1,S=2016
B.f(x)= cos
x+1,S=2016
C.f(x)= sin
x+1,S=2016.5
D.f(x)= cos
x+1,S=2016.5
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【题目】已知a为正的常数,函数f(x)=|ax﹣x2|+lnx.
(1)若a=2,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)设g(x)= ,求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(e≈2.71828为自然对数的底数)
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
:
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
:
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
,求
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
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