Question

【题目】有一块以点为圆心，半径为百米的圆形草坪，草坪内距离点百米的点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点修一条笔直小路交草坪圆周于两点，为了方便居民散步，同时修建小路，其中小路的宽度忽略不计.

（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；

（2）若要在区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和)

Answer 1

【答案】（1）(百米).（2）.

【解析】

（1）要使最短，只需要最小即可，根据弦长公式可知当时，弦最小；

（2）当广场所在的圆与内切时，面积最大，由弦长公式可得，再由三角形面积公式表示半径，再通过构造函数，利用导数求函数的最值.

建立如图所示的平面直角坐标系，则.

（1）小路的长度为，因为长为定值，故只需要最小即可.

作于，记，则，

又，故，

此时点为中点.

故小路的最短长度为(百米).

（2）显然，当广场所在的圆与内切时，

面积最大，设的内切圆的半径为，

则的面积为，

由弦长公式可得，所以，

设，则，

所以，

又因为，即，所以，

所以，所以，

即的内切圆的面积最大值为.