Question

18．以椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点为焦点，经过直线x+y=9上一点P作椭圆C₁，当椭圆C₁的长轴长最小时，求椭圆C₁的方程．

Answer 1

分析 作点F₁（-2，0）关于l′的对称点F₁′（9，11）．设P是l′与椭圆的公共点，则2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF′₁|+|PF₂|≥|F′₁F₂|=$\sqrt{170}$，即可求当C的长轴最短时，C的方程．

解答 解：依题意，F₁（-2，0）、F₂（2，0）．
作点F₁（-2，0）关于l：x+y=9的对称点F₁′（9，11）．
设P是l与椭圆的公共点，则2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF′₁|+|PF₂|≥|F′₁F₂|=$\sqrt{170}$．
∴（2a）_min=$\sqrt{170}$，
此时，a²=$\frac{85}{2}$，b²=a²-c²=$\frac{77}{2}$．
∴长轴最短的椭圆方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{85}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{77}{2}}$=1．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．