Question

10．若曲线C：f（x）=$\frac{alnx}{x}$（a≠0）在点（1，0）处的切线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$．
（1）求a的值；
（2）求证：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．

Answer 1

分析 （1）求出切点处切线斜率，由题意可得切线的斜率为1，即可得到a=1；
（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．

解答 解：（1）∵y=f（x）=$\frac{alnx}{x}$
∴y′=$\frac{a-alnx}{{x}^{2}}$，
∴l的斜率k=y′|_x=1=a，
∴由题意可得在点（1，0）处的切线l的斜率为a=tan$\frac{π}{4}$=1；
（2）证明：切线l：y=x-1，
令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x-1）-lnx＞0恒成立．
则f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0，
∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即$\frac{lnx}{x}$＜x-1，
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即 $\frac{lnx}{x}$＜x-1，
即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．

点评 本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．