Question

3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$，且C=$\frac{π}{6}$．
（1）求角A和角B的大小；
（2）若△ABC的面积为1，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$，得（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），利用正弦定理整理后得，可得A=B或2A+2B=π，再由C=$\frac{π}{6}$，可得A=B=$\frac{5π}{12}$；
（2）设a=b=m，由S_△ABC=1求得m=2，再利用余弦定理求得c值．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$，
∴（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
∴（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）=（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB），
∴sinAcosB（a²+b²-a²+b²）=cosAsinB（a²-b²+a²+b²）．
∴sinAcosB$（\frac{sinB}{2R}）^{2}$=cosAsinB$（\frac{sinA}{2R}）^{2}$．
则sinAcosB（sinBcosB-sinAcosA）=0．
即$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{1}{2}$sin2B，sin2A=sin2B，
∴A=B或2A+2B=π，
∵C=$\frac{π}{6}$，∴A=B=$\frac{5π}{12}$；
（2）设a=b=m，由S_△ABC=1，得$\frac{1}{2}{m}^{2}sin\frac{π}{6}=1$，即m²=4，m=2．
∴c²=a²+b²-2ab•cosC=${2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×cos\frac{π}{6}=8-4\sqrt{3}$．
∴c=$\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{8-2\sqrt{12}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查数学转化思想方法，考查了运算能力，是中档题．