Question

4．已知f₁（x）=e^xsinx，f_n（x）=f_n-1′（x）（n≥2，n∈N^*），则f₁（0）+f₂（0）+f₃（0）+…+f₂₀₁₂（0）=1+4⁵⁰³．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的规律性转化为等比数列的前n项和，进行求解即可．

解答 解：∵f₁（x）=e^xsinx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=e^xsinx+e^xcosx，
f₃（x）=f₂′（x）=e^xsinx+e^xcosx+e^xcosx-e^xsinx=2e^xcosx，
f₄（x）=f₃′（x）=2e^xcosx-2e^xsinx，
f₅（x）=f₄′（x）=2e^xcosx-2e^xsinx-2e^xsinx-2e^xcosx=-4e^xsinx=-4f₁（x），
f₆（x）=f₅′（x）=-4e^xsinx-4e^xcosx=-4（e^xsinx+e^xcosx）=-4f₂（x），
则f₁（0）=0，f₂（0）=1，f₃（0）=2，f₄（0）=2，
 f₅（0）=0，f₆（0）=-4，f₇（0）=-8，f₈（0）=-8，
…
归纳得每四个的和构成一个5为首项，以-4为公比的等比数列
∵2012=4×503，
∴f₁（0）+f₂（0）+f₃（0）+…+f₂₀₁₂（0）=$\frac{5×[1-（-4）^{503}]}{1-（-4）}$=1+4⁵⁰³，
故答案为：1+4⁵⁰³

点评 本题主要考查函数值的计算，函数的导数的公式的应用，以及数列求和，求函数的导数，得到f_n（0）的规律是解决本题的关键．