Question

已知点P（x₀，y₀）在抛物线y=

2x+3

的图象上，过点P（x₀，y₀）作抛物线的切线l．
（1）若切线l的倾斜角为α，且α∈（0，

π

4

]，求x₀的范围；
（2）若切线l过点（-2，0），求点P（x₀，y₀）的坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由已知中点P（x₀，y₀）在抛物线y=

2x+3

的图象上，求导可得过点P（x₀，y₀）作抛物线的切线l的斜率，由切线l的倾斜角为α，且α∈（0，

π

4

]，可得切线l的斜率

1

2x0+3

∈（0，1]，进而可得x₀的范围；
（2）过点P（x₀，y₀）的抛物线的切线l的方程为：y-

2x0+3

=

1

2x0+3

（x-x₀），结合切线l过点（-2，0），可求点P（x₀，y₀）的坐标．

解答： 解：（1）∵y=

2x+3

=(2x+3)

1

2

，
∴y′=

1

2x+3

，
若切线l的倾斜角为α，且α∈（0，

π

4

]，
则y′∈（0，1]，即

1

2x0+3

∈（0，1]，
∴

2x0+3

≥1，
∴2x₀+3≥1，
∴x₀≥-1，
即x₀的范围为x₀≥-1；
（2）过点P（x₀，y₀）的抛物线的切线l的方程为：y-

2x0+3

=

1

2x0+3

（x-x₀），
∵切线l过点（-2，0），
∴-

2x0+3

=

1

2x0+3

（-2-x₀），
解得：x₀=-1，y₀=1，
即点P（x₀，y₀）的坐标为（-1，1）

点评：本题考查的知识点是曲线过定点的切线方程，是导数的简单应用，难度中档．