Question

已知函数f（x）满足f（ax-1）=lg

x+2

x-3

（a≠0）
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）的定义域；
（3）是否存在实数a，使f（x）为奇函数或为偶函数？如果有，求出实数a的值，否则说明不存在的理由．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数的定义域及其求法,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用换元法，令ax-1=t，解出x，代入函数式，即可得到；
（2）由

x+2

x-3

＞0，解得，x＞3或x＜-2，再讨论a＞0，a＜0，即可得到f（x）的定义域；
（3）假设存在实数a，使f（x）为奇函数或为偶函数．则定义域关于原点对称，即有3a-1-2a-1=0，解得a，再由奇偶性的定义，即可判断．

解答： 解：（1）由于函数f（x）满足f（ax-1）=lg

x+2

x-3

（a≠0），
则令ax-1=t，则x=

1+t

a

，即有f（t）=lg

1+2a+t

1-3a+t

，
即为f（x）=lg

x+1+2a

x+1-3a

；
（2）由

x+2

x-3

＞0，解得，x＞3或x＜-2，
当a＞0时，则t=ax-1＞3a-1，或t＜-2a-1；
当a＜0时，则t＜3a-1或t＞-2a-1．
故当a＞0时，f（x）的定义域为{x|x＞3a-1，或x＜-2a-1}；
当a＜0时，f（x）的定义域为{x|x＜3a-1，或x＞-2a-1}；
（3）假设存在实数a，使f（x）为奇函数或为偶函数．
则定义域关于原点对称，即有3a-1-2a-1=0，解得，a=2，
则f（x）=lg

x+5

x-5

，f（-x）=lg

-x+5

-x-5

=lg

x-5

x+5

=-lg

x+5

x-5

=-f（x），
即有f（x）为奇函数．
则存在实数a=2，使f（x）为奇函数．

点评：本题考查函数的解析式的求法：换元法，考查函数的定义域的求法，注意分类讨论，考查函数的奇偶性的判断，属于中档题．