Question

若0＜x₁＜x₂＜1，则（　　）

• A、ex2-ex1＞lnx₂-lnx₁
• B、ex2-ex1＜lnx₂-lnx₁
• C、x₂ex1＞x₁ex2
• D、x₂ex1＜x₁ex2

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：导数的综合应用

分析：分别设出两个辅助函数f（x）=e^x+lnx，g（x）=

ex

x

，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x₁＜x₂＜1得答案．

解答：解：令f（x）=e^x+lnx，
f′(x)=ex+

1

x

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上为增函数，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴ex1+lnx1＜ex2+lnx2，
即ex2-ex1＞lnx1-lnx2．
由此可知选项A，B不正确．
令g（x）=

ex

x

，
g′(x)=

xex-ex

x2

，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上为减函数，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴

ex1

x1

＞

ex2

x2

，
即x2ex1＞x1ex2．
∴选项C正确而D不正确．
故选：C．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题．