Question

若不等式lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

≥（x-1）lgn对任意不大于1的实数x和大于1的正整数n都成立，则a的取值范围是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（-∞，0]
• C、[

  1

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件知当且仅当x=1时，（x-1）lgn取最大值0，此时lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

=lg（

n+1

2

-a）≥0，由此能求出a的取值范围．

解答：解：∵x≤1，n是大于1的正整数，
∴当且仅当x=1时，（x-1）lgn取最大值0，
此时lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

=lg（

1+2+3+…+n

n

-a）
=lg（

n+1

2

-a）≥0，
∴

n+1

2

-a≥1对任意大于1的正整数n都成立，
∴a≤

n+1

2

-1≤

3

2

-1=

1

2

，
∴a的取值范围是（-∞，

1

2

]．
故选：D．

点评：本题考查对数的运算性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的前n项和公式的灵活运用．