Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函数y=-x+12的图象上．
（Ⅰ）写出S_n关于n的函数表达式；
（Ⅱ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{|a_n|}的前n项的和．

Answer 1

分析：（I）根据点(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函数y=-x+12的图象上，则点的坐标适合方程，代入方程即可求出S_n关于n的函数表达式；
（II）当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1求出通项，验证首项即可；
（III）由（Ⅱ）知，a₁，a₂，…a₆＞0，数列{a_n}从第7项起均为负数，然后讨论n与6的大小，利用分段函数表示数列{|a_n|}的前n项的和．

解答：解 （Ⅰ）由题设得

Sn

n

=-n+12，即S_n=n（-n+12）=-n²+12n．
（Ⅱ）当n=1时，a_n=a₁=S₁=11；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-（-（n-1）²+12（n-1））=-2n+13；
由于此时-2×1+13=11=a₁，从而数列{a_n}的通项公式是a_n=-2n+13．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a₁，a₂，…a₆＞0，数列{a_n}从第7项起均为负数．设数列{|a_n|}的前n项的和为T_n．
当n≤6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+12n；
当n≥7时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-…-a_n
=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+…+a_n）
=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）
=2S₆-S_n=n²-12n+72．
所以数列{|a_n|}的前n项的和为Tn=

-n2+12n n≤6 n2-12n+72，n≥7

．

点评：本题主要考查了数列与函数的综合运用，以及等差数列的通项公式和求出，属于中档题．