Question

3．已知f（tanx）=cot3x-cos3x．
（1）求f（cotx）的表达式；
（2）求f（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式cotx=tan（$\frac{π}{2}$-x），代入化简可得所求表达式；
（2）可令tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即有x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，代入可得所求值．

解答 解：（1）f（tanx）=cot3x-cos3x．
则f（cotx）=f（tan（$\frac{π}{2}$-x））=cot3（$\frac{π}{2}$-x）-cos3（$\frac{π}{2}$-x）
=tan3x+sin3x；
（2）可令tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即有x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得f（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=cot3（kπ-$\frac{π}{6}$）-cos3（kπ-$\frac{π}{6}$）
=cot（-$\frac{π}{2}$）-cos（kπ-$\frac{π}{2}$）
=0-0=0．

点评 本题考查函数的解析式的求法和三角函数的求值，考查诱导公式的运用，特殊角的三角函数值的运用，属于基础题．