Question

11．观察以下各式：①cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$；②cos$\frac{π}{5}$cos$\frac{2π}{5}$=$\frac{1}{4}$；③cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{3π}{7}$=$\frac{1}{8}$；④cos$\frac{π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{3π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$=$\frac{1}{16}$；分析上述各式的特征，写出能反映一般规律的等式，并对一般规律的等式给予证明．

Answer 1

分析 由已知中各式：①cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$；②cos$\frac{π}{5}$cos$\frac{2π}{5}$=$\frac{1}{4}$；③cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{3π}{7}$=$\frac{1}{8}$；④cos$\frac{π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{3π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$=$\frac{1}{16}$；分析式子两边的变化规则，可得结论．

解答 解：由已知中：
①cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$；
②cos$\frac{π}{5}$cos$\frac{2π}{5}$=$\frac{1}{4}$；
③cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{3π}{7}$=$\frac{1}{8}$；
④cos$\frac{π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{3π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$=$\frac{1}{16}$；
…
归纳可得：$cos\frac{π}{2n+1}$•$cos\frac{2π}{2n+1}$•$cos\frac{3π}{2n+1}$•…•$cos\frac{nπ}{2n+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
证明如下：
2ⁿ•（$sin\frac{π}{2n+1}$•$sin\frac{2π}{2n+1}$•$sin\frac{3π}{2n+1}$•…•$sin\frac{nπ}{2n+1}$）（$cos\frac{π}{2n+1}$•$cos\frac{2π}{2n+1}$•$cos\frac{3π}{2n+1}$•…•$cos\frac{nπ}{2n+1}$）
=2$sin\frac{π}{2n+1}$$cos\frac{π}{2n+1}$•2$sin\frac{2π}{2n+1}$$cos\frac{2π}{2n+1}$•2$sin\frac{3π}{2n+1}$•$cos\frac{3π}{2n+1}$•…•2$sin\frac{nπ}{2n+1}$$cos\frac{nπ}{2n+1}$
=$sin\frac{2π}{2n+1}$•$sin\frac{4π}{2n+1}$•…•$sin\frac{2nπ}{2n+1}$
=$sin\frac{π}{2n+1}$•$sin\frac{2π}{2n+1}$•$sin\frac{3π}{2n+1}$•…•$sin\frac{nπ}{2n+1}$，
∴2ⁿ（$cos\frac{π}{2n+1}$•$cos\frac{2π}{2n+1}$•$cos\frac{3π}{2n+1}$•…•$cos\frac{nπ}{2n+1}$）=1
即$cos\frac{π}{2n+1}$•$cos\frac{2π}{2n+1}$•$cos\frac{3π}{2n+1}$•…•$cos\frac{nπ}{2n+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．