Question

14．已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）e^x-1-g（0）x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，且存在实数x₀使得不等式2m-1≥g（x₀）成立，则m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，3]
• C． [1，+∞）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m-1≥g（x）_min=1即可，求出m的范围即可．

解答 解：∵g（x）=g′（1）e^x-1-g（0）x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
∴g′（x）=g′（1）e^x-1-g（0）+x，
∴g′（1）=g′（1）-g（0）+1，解得：g（0）=1，
g（0）=g′（1）e^-1，解得：g′（1）=e，
∴g（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}$x²，
∴g′（x）=e^x-1+x，g″（x）=e^x+1＞0，
∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，
∴g′（x）＜0在（-∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴g（x）_min=g（0）=1，
若存在实数x₀使得不等式2m-1≥g（x₀）成立，
只需2m-1≥g（x）_min=1即可，解得：m≥1，
故选：C．

点评 本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．