Question

3．对任意正数x，不等式x-2a＞2^-x恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{2}）$
• B． $（-1，-\frac{1}{2}）$
• C． $（-\frac{1}{2}，0）$
• D． $（-∞，-\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 利用参数分离法结合函数单调性的性质求出函数的最值即可得到结论．

解答 解：任意正数x，不等式x-2a＞2^-x恒成立，
等价为任意正数x，不等式x-2^-x＞2a恒成立，
设f（x）=x-2^-x，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则f（x）＞f（0）=0-1=-1，
即-1≥2a，则a≤$-\frac{1}{2}$，
即实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{2}]$，
故选：D．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数单调性的性质是解决本题的关键，综合性较强．