Question

如图，将正分割成16个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点的数之和　　　　　　．

Answer 1

5

试题分析：根据等差中项法分别求解n=2，3，4时的值，由此归纳出f（n）的值即可．解：由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）当n=2时，根据等差数列的性质可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1，2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1，∴f（2）=2= ，当n=3时，根据等差数列的性质可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1，从而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2，同样根据等差中项可得，M的数为 ，所以 ，依次可知结论为，那么可知顶点处的三个数互不相同且和为1，则n=5时，所有顶点的数之和5，故答案为5.
点评：本题目主要考查了数列的通项公式的求解在实际问题中的应用，解题的关键是灵活利用等差中项，进行求解．考查了考试发现问题、解决问题的能力．