Question

【题目】

已知函数为自然对数的底数）

（1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；

（2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值 ；

(Ⅱ)存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为．

【解析】

解：（1）……61分

①当恒成立

上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值…3分

②当时，，

若，则上单调递减；

若，则上单调递增，

时，有极小值，也是最小值，

即…………6分

所以当时，的单调递减区间为

单调递增区间为，最小值为，无最大值…………7分

（2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，

则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点…………8分

由（1）的结论可知…………10分

此时，

的图象的唯一公共点坐标为

又

的图象在点处有共同的切线，

其方程为，即…………13分

综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为…………14分

方法二：设图象的公共点坐标为，

根据题意得

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即由②得，代入①得

从而…………10分

此时由（1）可知

时，

因此除外，再没有其它，使…………13分

故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为…………14分