Question

在△ABC中，若有一点O满足OA²+BC²=OB²+AC²=OC²+AB²，则O点是△ABC的

 

心．

Answer 1

考点：三角形五心

专题：解三角形

分析：由

OA

2+

BC

2=

OB

2+

CA

2，得

OA

2-

OB

2=

CA

2-

BC

2，从而得到

BA

（（

OA

+

OB

-

CA

-

BC

）=0，进而得到

BA

⊥

OC

．同理

OA

⊥

BC

，

OB

⊥

AC

，所以O为△ABC的垂心．

解答： 解：∵

OA

2+

BC

2=

OB

2+

CA

2，
∴

OA

2-

OB

2=

CA

2-

BC

2，
∴（

OA

+

OB

）（

OA

-

OB

）=（

CA

+

BC

）（

CA

-

BC

），
（

OA

+

OB

）•

BA

=

BA

•（

CA

+

BC

），
•

BA

（（

OA

+

OB

-

CA

-

BC

）=0
∴

BA

•（2

OC

）=0
即

BA

•

OC

=0，
∵

BA

，

OC

不为0
∴

BA

⊥

OC

．
同理

OA

⊥

BC

，

OB

⊥

AC

，
∴O为△ABC的垂心．
故答案为：垂．

点评：本题考查三角形的垂心的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识的灵活运用．