Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R．
（1）求f（

π

6

）的值；  
（2）若sinα=

3

5

，且α∈（

π

2

，π），求f（

α

2

+

π

24

）．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）直接代入x=

π

6

于表达式，化简求解即可得到表达式的值；  
（2）通过sinα=

3

5

，且α∈（

π

2

，π），求出cosα，l利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的表达式，然后求f（

α

2

+

π

24

）的值即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R，
f（

π

6

）=cos²

π

6

+sin

π

6

cos

π

6

=(

3

2

)2+

1

2

×

3

2

=

3+ 3

4

…（2分）
（2）f（x）=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

sin2x

2

=

1

2

+

1

2

(sin2x+cos2x)=

1

2

+sin(2x+

π

4

)…（6分）
f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+sin(α+

π

12

+

π

4

)=

1

2

+

2

2

sin(α+

π

3

)
=

1

2

+

2

2

(

1

2

sinα+

3

2

cosα)…（10分）
因为sinα=

3

5

，且α∈（

π

2

，π），所以cosα=-

4

5

…（11分）
所以f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

2

(

1

2

×

3

5

-

3

2

×

4

5

)=

10+3 2 -4 6

20

…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．