Question

（本小题满分13分）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为2．

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

（1）椭圆的方程为，离心率为；（2）以为直径的圆与直线相切．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法进行求解；（2）设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，整理成关于的一元二次方程，利用中点坐标公式求其线段中点，写出圆的方程，利用圆心到直线的距离公式进行证明．

试题解析：（1）由题意可设椭圆的方程为，．

由题意知

解得，． 3分

故椭圆的方程为，离心率为． 5分

（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．

证明如下：由题意可设直线的方程为．

则点坐标为，中点的坐标为． 6分

由得． 7分

设点的坐标为，则．

所以，． 9分

因为点坐标为，

当时，点的坐标为，点的坐标为．

直线轴，此时以为直径的圆与直线相切． 10分

当时，则直线的斜率．

所以直线的方程为．

点到直线的距离．

又因为 ，所以．

故以为直径的圆与直线相切．

综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．

考点：1．椭圆的标准方程；2．直线椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系．

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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