Question

17．已知数列{a_n}满足：a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$（n∈N*）．
（1）证明：a_n+1≥a_n+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$；
（2）证明：$\frac{2}{n+3}$＜$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$＜1．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$（n∈N*），可得a_n+1＞a_n＞a₁＞1．作差a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{（n+1）^{2}}$-$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}{（n+1）^{2}}$即可证明．
（2）$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$$•\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，由$0＜\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜1，可得$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“累加求和”可得右边成立．另一方面：由a_n≤n，原式变形为：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$≤1+$\frac{n}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{n+2}{n+1}$．即可证明左边．

解答 证明：（1）∵a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$（n∈N*），a₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＞1，同理可得a_n+1＞a_n＞a₁＞1．
∴a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{（n+1）^{2}}$-$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}{（n+1）^{2}}$＞0，
∴a_n+1≥a_n+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$．
（2）$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$$•\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，∴$0＜\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
利用“累加求和”可得：$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜1-$\frac{1}{n+1}$，可得a_n+1＜n+1．
另一方面：由a_n≤n，原式变形为：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$≤1+$\frac{n}{（n+1）^{2}}$＜1+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+2}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}＞$$\frac{n+1}{n+2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{1}{（n+1）^{2}}•\frac{n+1}{n+2}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴利用“累加求和”可得：$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$$＞\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$，可得a_n+1＞$\frac{2（n+1）}{n+3}$．
综上可得：$\frac{2}{n+3}$＜$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了数列的单调性、“放缩法”、不等式的性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．