Question

12．已知抛物线y²=4x的焦点为F，A、B，为抛物线上两点，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．

解答 解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），
联立直线AB与抛物线的方程可得A（3，2$\sqrt{3}$），B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
所以|AB|=$\sqrt{（3-\frac{1}{3}）^{2}+（2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
而原点到直线AB的距离为d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．
故选B．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．