Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A，B为锐角且B＜A，sinA=

5

5

，sin2B=

3

5

．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若b+c=

5

+1，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（I）由已知sinA，sin2B可求cosA，cos2B，利用半角公式可求cosB，从而可得cosC=-cos（A+B），
（II）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，结合b+c的值可求k，进而可求a，b，c

解答：解：（Ⅰ）∵A为锐角，sinA=

5

5

∴cosA=

1- 1 5

=

2

5

--------------（2分）
∵B＜A，sinA=

5

5

＜

2

2

，
∴B＜45°--------------（3分）
∵sin2B=

3

5

，
∴cos2B=

1- 9 25

=

4

5

∴cosB=

1+cos2B 2

=

3

10

，sinB=

1

10

--------------（4分）cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-

2

5

×

3

10

+

1

5

×

1

10

=-

2

2

∴C=135°--------------（6分）
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k--------------（8分）
∴b+c=

5

+1=(

1

10

+

2

2

)k，解得k=

10

--------------（10分）
∴a=

2

，b=1，c=

5

．--------------（12分）

点评：本题主要考查了同角平方关系及半角公式、和差角公式的应用，正弦定理的应用，属于基础试题