【答案】
分析:①由题意得到f(x)的解析式,求出f′(x)因为在x=1处有极值得到f(1)=-
,f′(1)=0求出b、c即可;(2)因为切线的斜率为c,则解出f′(t)=c时t的值得到切点坐标,写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数;(3)根据题意得到g(x)的解析式,利用已知求出g(x)的最大值M,利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可.
解答:解:①依题意
,
解
得
或
.
若
,
,
′(x)=-x
2+2x-1=-(x-1)
2≤0f(x)在R上单调递减,
在x=1处无极值;若
,
,
f′(x)=-x
2-2x+3=-(x-1)(x+3),直接讨论知,
f(x)在x=1处有极大值,所以
为所求.
②解f′(t)=c得t=0或t=2b,切点分别为(0,bc)、
,
相应的切线为y=cx+bc或
.
解
得x=0或x=3b;
解
即x
3-3bx
2+4b
3=0
得x=-b或x=2b.
综合可知,b=0时,斜率为c的切线只有一条,与曲线的公共点只有(0,0),b≠0时,
斜率为c的切线有两条,与曲线的公共点分别为(0,bc)、(3b,4bc)和
、
.
③g(x)=|-(x-b)
2+b
2+c|.若|b|>1,则f′(x)在[-1,1]是单调函数,
M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|}={|-1+2b+c|,|-1-2b+c|},
因为f′(1)与f′(-1)之差的绝对值|f′(1)-f′(-1)|=|4b|>4,所以M>2.
若|b|≤1,f′(x)在x=b∈[-1,1]取极值,
则M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|,|f′(b)|},f′(b)-f′(±1)=(b?1)
2.
若-1≤b<0,f′(1)≤f′(-1)≤f′(b
;
若0≤b≤1,f′(-1)≤f′(1)≤f′(b),
M=max{|f′(-1)|,|f′(b)|}
=
.
当b=0,
时,
在[-1,1]上的最大值
.
所以,k的取值范围是
.
点评:考查学生利用导数研究函数极值的能力,会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力.