Question

4．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量$\overrightarrow{e_1}$=$[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，并且矩阵M将点（-1，3）变换为（0，8）．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x+3y-2=0在M的作用下的新曲线方程．

Answer 1

分析 （1）利用特征值、特征向量的定义，建立方程，即可得出结论；
（2）求出变换前后坐标之间的关系，即可得出结论．

解答 解：（1）设$M=[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}]$，由$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]=8[{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]$及$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}{-1}\\ 3\end{array}}]=[{\begin{array}{l}0\\ 8\end{array}}]$，
得$\left\{\begin{array}{l}a+b=8\\ c+d=8\\-a+3b=0\\-c+3d=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=6\\ b=2\\ c=4\\ d=4\end{array}\right.$，∴$M=[{\begin{array}{l}6&2\\ 4&4\end{array}}]$…（4分）
（2）设原曲线上任一点P（x，y）在M作用下对应点P'（x'，y'），
则$[\begin{array}{l}x'\\ y'\end{array}]=[{\begin{array}{l}6&2\\ 4&4\end{array}}][\begin{array}{l}x\\ y\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}x'=6x+2y\\ y'=4x+4y\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2x'-y'}{8}\\ y=\frac{-2x'+3y'}{8}\end{array}\right.$，
代入x+3y-2=0得x'-2y'+4=0，
即曲线x+3y-2=0在M的作用下的新曲线方程为x-2y+4=0…（10分）

点评 本题考查特征值、特征向量的定义，考查矩阵变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．