【题目】已知椭圆右焦点
,离心率为
,过
作两条互相垂直的弦
,设
中点分别为
.
(1)求椭圆的方程;
(2) 证明:直线必过定点,并求出此定点坐标;
(3) 若弦的斜率均存在,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)直线MN过定点
;(3)S△FMN的最大值为
.
【解析】分析:(1)根据题意确定出c与e的值,利用离心率公式求出a的值,进而求出b的值,确定出椭圆方程即可;
(2)由直线AB与CD斜率均存在,设为k,表示出AB方程,设出A与B坐标,联立直线AB与椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出M,同理表示出N,根据M与N横坐标相同求出k的值,得到此时MN斜率不存在,直线MN恒过定点;若直线MN斜率存在,表示出直线MN斜率,进而表示出直线MN,令y=0,求出x的值,得到直线MN恒过定点,综上,得到直线MN恒过定点,求出定点坐标即可;
(3)根据P坐标,得到OP的长,由OF﹣OP表示出PF长,S△FMN=S△FPM+S△FPN,利用基本不等式求出面积的最大值即可.
详解:(1) (1)由题意:c=1, =
,
∴a=,b=c=1,
则椭圆的方程为+y2=1;
(2) ∵AB,CD斜率均存在,
∴设直线AB方程为:y=k(x﹣1),
再设A(x1,y1),B(x2,y2),则有M(,k(
﹣1)),
联立得: ,
消去y得:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
∴,即M(
,
),
将上式中的k换成﹣,同理可得:N(
,
),
若=
,解得:k=±1,直线MN斜率不存在,
此时直线MN过点(,0);
下证动直线MN过定点P(,0),
若直线MN斜率存在,则kMN==
=
×
,
直线MN为y﹣=
×
(x﹣
),
令y=0,得x=+
×
=
×
=
,
综上,直线MN过定点(,0);
(3) 由第(2)问可知直线MN过定点P(,0),
故S△FMN=S△FPM+S△FPN=×
|
|+
×
|
=
×
,
令t=|k|+∈[2,+∞),S△FMN=f(t)=
×
=
×
,
∴f(t)在t∈[2,+∞)单调递减,
当t=2时,f(t)取得最大值,即S△FMN最大值,此时k=±1.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于两条平行直线、
(
在
下方)和图象
有如下操作:将图象
在直线
下方的部分沿直线
翻折,其余部分保持不变,得到图象
;将图象
在直线
上方的部分沿直线
翻折,其余部分保持不变,得到图象
:再将图
在直线下方的部分沿直线
翻折,其余部分保持不变,得到图象
;再将图象
在直线
上方的部分沿直线
翻折,其余部分保持不变,得到图象
;以此类推…;直到图象
上所有点均在
、
之间(含
、
上)操作停止,此时称图象
为图象
关于直线
、
的“衍生图形”,线段
关于直线
、
的“衍生图形”为折线段
.
(1)直线型
平面直角坐标系中,设直线,直线
①令图象为
的函数图象,则图象
的解析式为
②令图像为
的函数图象,请你画出
和
的图象
③若函数的图象与图象
有且仅有一个交点,且交点在
轴的左侧,那么
的取值范围是_______.
④请你观察图象并描述其单调性,直接写出结果_______.
⑤请你观察图象并判断其奇偶性,直接写出结果_______.
⑥图象所对应函数的零点为_______.
⑦任取图象中横坐标
的点,那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为(_______,_______),最低点坐标为(_______,_______).
⑧若直线与图象
有2个不同的交点,则
的取值范围是_______.
⑨根据函数图象,请你写出图象的解析式_______.
(2)曲线型
若图象为函数
的图象,
平面直角坐标系中,设直线,直线
,
则我们可以很容易得到所对应的解析式为
.
①请画出的图象,记
所对应的函数解析式为
.
②函数的单调增区间为_______,单调减区间为_______.
③当时候,函数
的最大值为_______,最小值为_______.
④若方程有四个不同的实数根,则
的取值范围为_______.
(3)封闭图形型
平面直角坐标系中,设直线,直线
设图象为四边形
,其顶点坐标分别为
,
,
,
,四边形
关于直线
、
的“衍生图形”为
.
①的周长为_______.
②若直线平分
的周长,则
_______.
③将沿右上方
方向平移
个单位,则平移过程中
所扫过的面积为_______.
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【题目】如图是函数的导函数
的图象,给出下列命题:
①-2是函数的极值点;
②1是函数的极值点;
③的图象在
处切线的斜率小于零;
④函数在区间
上单调递增.
则正确命题的序号是( )
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
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【题目】已知在平面直角坐标系中,椭圆C的参数方程为 (θ为参数).
(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求椭圆C的极坐标方程;
(2)设M(x,y)为椭圆C上任意一点,求x+2y的取值范围.
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【题目】在下列命题中,正确命题的个数为( )
①两个复数不能比较大小;
②,若
,则
;
③若是纯虚数,则实数
;
④是虚数的一个充要条件是
;
⑤若是两个相等的实数,则
是纯虚数;
⑥的一个充要条件是
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】2002年北京国际数学家大会会标,是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的,弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图
,若大、小正方形的面积分别为25和1,直角三角形中较大锐角为
,则
等于
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数h(x)=lnx+ .
(1)函数g(x)=h(2x+m),若x=1是g(x)的极值点,求m的值并讨论g(x)的单调性;
(2)函数φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x有两个不同的极值点,其极小值为M,试比较2M与﹣3的大小关系,并说明理由.
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