【题目】已知函数h(x)=lnx+ .
(1)函数g(x)=h(2x+m),若x=1是g(x)的极值点,求m的值并讨论g(x)的单调性;
(2)函数φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x有两个不同的极值点,其极小值为M,试比较2M与﹣3的大小关系,并说明理由.
【答案】
(1)解:g(x)=ln(2x+m)+ ,(x>﹣
),
g′(x)= ﹣
=
,
若x=1是g(x)的极值点,
则g′(x)= =0,解得:m=﹣1,
故g(x)=ln(2x﹣1)+ ,(x>
),
g′(x)= ,
令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得: <x<1,
故g(x)在( ,1)递减,在(1,+∞)递增
(2)解:φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x=ax2﹣2x+lnx(x>0)
φ′(x)=2ax﹣2+ =
(x>0)
∵φ(x)有两个不同的极值点,
∴2ax2﹣2x+1=0在(0,+∞)有两个不同的实根.
设p(x)=2ax2﹣2x+1=0,
则 ,即
,即有0<a<
.
设p(x)在(0,+∞)的两根x1,x2且x1<x2,
x | (0,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
φ′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
φ(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
∴φ(x)的极小值为M=φ(x2)=ax22﹣2x2+lnx2
又p(x)=0在(0,+∞)的两根为x1,x2,
∴2ax
∴φ(x)极小值=M=φ(x2)=ax22﹣2x2+lnx2
=x2﹣ ﹣2x2+lnx2=﹣
+lnx2﹣x2,
∴2M=﹣1+2lnx2﹣2x2,
∵x2= (0<a<
)
∴x2>1令v(x)=﹣1+2lnx﹣2x,v′(x)= ﹣2,
∴x>1时,v′(x)<0,v(x)在(1,+∞)递减,
∴x>1时,v(x)=﹣1+2lnx﹣2x<v(1)=﹣3,
∴2M<﹣3.
【解析】(1)求出g(x)=h(x+m)的导数,根据g′(1)=0,求出m的值,从而求出g(x)的解析式,求出函数的单调区间即可;(2)对φ(x)求导数,φ(x)有两个不同的极值点,即为2ax2﹣2x+1=0在(0,+∞)有两个不同的实根.设p(x)=2ax2﹣2x+1=0,运用韦达定理和判别式,即可得到0<a< .列表得到φ(x)的单调区间和极值的关系,即可得到极小值M,令v(x)=﹣1+2lnx﹣2x,运用导数,得到v(x)在(1,+∞)递减,运用单调性即可得到2M<﹣3.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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【题目】已知椭圆右焦点
,离心率为
,过
作两条互相垂直的弦
,设
中点分别为
.
(1)求椭圆的方程;
(2) 证明:直线必过定点,并求出此定点坐标;
(3) 若弦的斜率均存在,求
面积的最大值.
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【题目】如图,四边形中,
,
,
,将四边形
沿对角线
折成四面
.使平面
平面
,则下列结论正确的是( ).
A. B.
C. 与平面
所成的角为
D. 四面体
的体积为
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【题目】已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)求证:{ +
}为等比数列,并求{an}的通项公式an;
(2)数列{bn}满足bn=(3n﹣1) an , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为人,每位员工的培训费为
元,培训机构的利润为
元.
(1)写出与
之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润.
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【题目】随着人们生活水平的不断提高,人们对餐饮服务行业的要求也越来越高,由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味,这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量(单位:千盒)与销售价格
(单位:元/盒)满足关系式
其中
,
为常数,已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒.
(1)求的值;
(2)假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元(只考虑销售出的便当盒数),试确定销售价格的值,使该店每月销售便当所获得的利润最大.(结果保留一位小数)
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点
,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】某人上午7时,乘摩托艇以匀速vkm/h(8≤v≤40)从A港出发到距100km的B港去,然后乘汽车以匀速wkm/h(30≤w≤100)自B港向距300km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市. 设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是xh,yh.
(1)作图表示满足上述条件的x,y范围;
(2)如果已知所需的经费p=100+3(5﹣x)+2(8﹣y)(元),那么v,w分别是多少时p最小?此时需花费多少元?
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【题目】对于向量a,b,e及实数x,y,x1,x2,,给出下列四个条件:
①且
; ②
③且
唯一; ④
其中能使a与b共线的是 ( )
A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
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