【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点
,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(I)详见解析;(II);(III)
.
【解析】试题分析:
(1)利用题意证得,然后由线面平行的判断定理可得
平面
.
(2)建立空间直角坐标系,利用平面向量的法向量可得二面角的余弦值为
.
(3)探索性问题,利用空间向量的结论可得在棱上存在点
,使得
,
此时.
试题解析:
(Ⅰ)证明:设与
的交点为
,连接
.
因为为矩形,所以
为
的中点,
在中,由已知
为
中点,
所以,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)解:取中点
,连接
.
因为是等腰三角形,
为
的中点,
所以,
又因为平面平面
,
因为平面
,
,
所以平面
.
取中点
,连接
,
由题设知四边形为矩形,
所以,
所以.
如图建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
.
,
.
设平面的法向量为
,则
即
令,则
,
,所以
.
平面的法向量为
,
设,
的夹角为
,所以
.
由图可知二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)设是棱
上一点,则存在
使得
.
因此点,
,
.
由,即
.
因为,所以在棱
上存在点
,使得
,
此时.
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【题目】已知函数f(x)是定义域为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(t﹣2)+f(2t+1)>0成立,求实数t的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)设g(x)=log4(a2x+a),若f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数a的取值范围.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),记f[2](x)=f(f(x)),例:f(x)=x2+1,
则f[2](x)=(f(x))2+1=(x2+1)2+1;
(1)f(x)=x2﹣x,解关于x的方程f[2](x)=x;
(2)记△=(b﹣1)2﹣4ac,若f[2](x)=x有四个不相等的实数根,求△的取值范围.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
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【题目】若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)﹣g(x)=ex , 则有( )
A.f(2)<f(3)<g(0)
B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3)
D.g(0)<f(2)<f(3)
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【题目】已知函数f(x)=2x , x∈(0,2)的值域为A,函数g(x)=log2(x﹣2a)+ (a<1)的定义域为B.
(1)求集合A,B;
(2)若BA,求实数a的取值范围.
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