Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．
（1）求b和c        
（2）求函数y=f（x）的解析式；
（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f′（x）=3x²+2bx+c，所以3x²+2bx+c=0的两个根为x₁=1，x₂=2，进而得到a与b的关系式解决问题．
（2）设切点为（x₀，y₀），根据题意可得f′（x₀）=6，即x₀=3或者x₀=0，即可解出切点的坐标求出函数y=f（x）的解析式．
（3）由题意可得：设切点的坐标为（x₁，y₁），
所以K切=

y1-1

x1

=

x 3 1 - 9 2 x 2 1  +6x1

x1

=

x

2 1

-

9

2

x1+6…①．所以K_切=3x₁²-9x₁+6…②，所以切点为（

9

4

，

199

64

），所以K切=

15

16

，所以切线方程为15x-16y+16=0．

解答：解：（1）由题意可得：函数f（x）=x³+bx²+cx+d的导数为：f′（x）=3x²+2bx+c，
因为函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，
所以3x²+2bx+c=0的两个根为x₁=1，x₂=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=-

9

2

，c=6．
（2）设切点为（x₀，y₀），
由（1）可得：f′（x）=3x²-9x+6，
因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，
所以f′（x₀）=6，即x₀=3或者x₀=0，
当x₀=3时，y₀=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x³-

9

2

x²+6x+

27

2

．
当x₀=0时，y₀=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x³-

9

2

x²+6x+1．
（3）由题意可得：f（x）=x³-

9

2

x²+6x+1，并且P（0，1），
设切点的坐标为（x₁，y₁），
所以K切=

y1-1

x1

=

x 3 1 - 9 2 x 2 1  +6x1

x1

=

x

2 1

-

9

2

x1+6…①．
又因为f′（x）=3x²-9x+6，
所以K_切=3x₁²-9x₁+6…②，
由①②可得：x1=

9

4

或者x1=0(舍去)，
所以切点为（

9

4

，

199

64

），所以K切=

15

16

，
所以切线方程为15x-16y+16=0．
所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义与求导公式，求切线方程时应该首先弄清切线所过的点是否为切点，再根据题意采用不同的方法进行处理．