Question

2．数列{a_n}满足a₁=1，且当n∈N₊时a_n³+（1+a_n²）（1-a_n+1）=0．
（Ⅰ）比较a_n+1与a_n的大小；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}}$（$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$），数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：[T_n]=0．
（[x]表示不大于实数x的最大整数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{3}+{a}_{n}^{2}+1}{{a}_{n}^{2}+1}$，作差比较即可判断．
（Ⅱ）由题意可得b_n＜$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，且0＜$\frac{1}{{a}_{n}}$≤1，累加求和得到，T_n＜1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，再根据[x]表示不大于实数x的最大整数，即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n³+（1+a_n²）（1-a_n+1）=0，
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{3}+{a}_{n}^{2}+1}{{a}_{n}^{2}+1}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}-{a}_{n}+1}{{a}_{n}^{2}+1}$=$\frac{（{a}_{n}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}{{a}_{n}^{2}+1}$＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（Ⅱ）∵a₁=1＞0，a_n+1＞a_n，
∴?n∈N^*，a_n≥1，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{n}}$≤1
∵b_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}}$（$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$）=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n}^{2}+1}$•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）＜$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴T_n＜（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴0＜T_n＜1，
∴[T_n]=0．

点评 本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．