Question

13．已知{a_n}满足a₁=1，a₂=1，a_n+2-a_n+1-a_n=0，x₁，x₂是方程x²=x+1两根．求证：
（1）数列{a_n+1-x₁a_n}，和{a_n+1-x₂a_n}均为等比数列．
（2）求a_n=？

Answer 1

分析 （1）由于x₁，x₂是方程x²=x+1，利用根与系数的关系可得：x₁+x₂=1，x₁x₂=-1．设a_n+2-αa_n+1=β（a_n+1-αa_n），化为a_n+2-（α+β）a_n+1+αβa_n=0，与a_n+2-a_n+1-a_n=0比较可得α+β=1，αβ=-1．即可证明．
（2）由x²-x-1=0，解得x_1，2=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．取x₁=α=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{2}=β=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，可得：a_n+2-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a_n+1=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$（{a}_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}{a}_{n}）$，利用等比数列的通项公式可得：a_n+1-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a_n=$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$，变形为：a_n+1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$$•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n+1}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$[{a}_{n}+\frac{\sqrt{5}}{5}•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 （1）证明：∵x₁，x₂是方程x²=x+1，即x²-x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1．
设a_n+2-αa_n+1=β（a_n+1-αa_n），化为a_n+2-（α+β）a_n+1+αβa_n=0，
与a_n+2-a_n+1-a_n=0比较可得α+β=1，αβ=-1．
∴数列{a_n+1-x₁a_n}，和{a_n+1-x₂a_n}均为等比数列．
（2）解：由x²-x-1=0，解得x_1，2=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．
取x₁=α=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{2}=β=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
则a_n+2-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a_n+1=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$（{a}_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}{a}_{n}）$，
∴数列$\{{a}_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}{a}_{n}\}$是等比数列，首项与公比为$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
∴a_n+1-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a_n=$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$，
变形为：a_n+1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$$•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n+1}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$[{a}_{n}+\frac{\sqrt{5}}{5}•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$，
∴a_n+$\frac{\sqrt{5}}{5}$$•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$$•\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$•（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$•$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}$，
∴a_n=$\frac{\sqrt{5}}{5}$$[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、“斐波那契数列的通项公式”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．