Question

15．在正四面体P-ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且$\overrightarrow{AN}=λ\overrightarrow{AB}$，设异面直线 NM 与 AC 所成角为α，当$\frac{1}{3}≤λ≤\frac{2}{3}$时，则cosα的取值范围是[$\frac{5\sqrt{19}}{38}$，$\frac{7\sqrt{19}}{38}$]．

Answer 1

分析 设P到平面ABC的射影为点O，取BC中点D，以O为原点，在平面ABC中，以过O作DB的平行线为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosα的取值范围．

解答 解：设P到平面ABC的射影为点O，取BC中点D，
以O为原点，在平面ABC中，以过O作DB的平行线为x轴，
以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正四面体P-ABC的棱长为4$\sqrt{3}$，
则A（0，-4，0），B（2$\sqrt{3}$，2，0），C（-2$\sqrt{3}$，2，2$\sqrt{2}$），P（0，0，4$\sqrt{2}$），M（-$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{2}$），
由$\overrightarrow{AN}=λ\overrightarrow{AB}$，得N（$2\sqrt{3}λ，6λ-4，0$），
∴$\overrightarrow{NM}$=（-$\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ$，5-6λ，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{3}$，6，0），
∵异面直线 NM 与 AC 所成角为α，$\frac{1}{3}≤λ≤\frac{2}{3}$，
∴cosα=$\frac{|\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{NM}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3-2λ}{2\sqrt{4{λ}^{2}-4λ+3}}$，设3-2λ=t，则$\frac{5}{3}≤t≤\frac{7}{3}$，
∴cosα=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{t}^{2}-4t+6}}$=$\frac{1}{2\sqrt{6（\frac{1}{t}）^{2}-4•\frac{1}{t}+1}}$，
∵$\frac{1}{3}＜\frac{3}{7}≤\frac{1}{t}≤\frac{3}{5}$，
∴$\frac{5\sqrt{19}}{38}≤cosα≤\frac{7\sqrt{19}}{38}$．
∴cosα的取值范围是[$\frac{5\sqrt{19}}{38}$，$\frac{7\sqrt{19}}{38}$]．
故答案为：[$\frac{5\sqrt{19}}{38}$，$\frac{7\sqrt{19}}{38}$]．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．