Question

已知函数 ，．
(1）当  时，求函数  的最小值；
(2）当  时，讨论函数  的单调性；
(3）是否存在实数，对任意的 ，且，有,恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）最小值为 ．（2）（1）当时，若为增函数；
为减函数；为增函数．
(2)当时,时,为增函数;
（3）当时，为增函数；
为减函数；
为增函数．  

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。分析函数的单调性和函数的最值，和不等式的证明综合运用。
（1）利用已知函数求解函数的定义域，然后求解导函数，分析导数大于零或者小于零的解得到单调区间。
（2）根据已知的函数的单调性，对于参数a分情况讨论，得到最值。
（3）假设存在实数a满足题意，则利用函数的 单调性得到a的范围
解；（1）显然函数的定义域为，       .........1分
当．     ............2分
∴ 当，．
∴在时取得最小值，其最小值为 ．  ........ 4分
（2）∵， ....5分
∴（1）当时，若为增函数；
为减函数；为增函数．
(2)当时,时,为增函数;
（3）当时，为增函数；
为减函数；
为增函数．    ............ 9分
（3）假设存在实数使得对任意的 ，且，有,恒成立，不妨设，只要，即：
令，只要 在为增函数
又函数．
考查函数   ............10分
要使在恒成立，只要，
故存在实数时，对任意的 ，且，有,恒成立，