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(本小题满分14分)
在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱,其轴截面如图所示,设三个圆柱体积之和为

(1) 求f(h)的表达式,并写出h的取值范围是 ;
(2) 求三个圆柱体积之和V的最大值;
(1)的取值范围是;⑵三个圆柱体积和的最大值为
本试题是以半球为背景,表示圆柱体的高度的关系式,以及体积的运用,并结合导数来求解最值问题。
(1)利用球的半径和圆柱的高度得到关于r与半径的关系式,从而得到高度的表示。
(2)而圆柱体的体积就是底面积乘以高,那么三个柱体的体积可以借助于第一问中的高度表示出来,再集合导数的思想求解体积的最值。
解:(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为:
.      ………………………………3分
它们的高均为,所以体积和
 6分
因为,所以的取值范围是; ………………………………………7分
⑵ 由,    ………………9分
,所以时,时,.11分
所以上为增函数,在上为减函数,
所以时,取最大值,的最大值为. ………13分
答:三个圆柱体积和的最大值为. …………………………………………14分
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