本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。借助于导数的符号与函数的单调性的关系来确定单调区间,以及运用函数与方程的思想来分析方程根的问题的综合运用。
(1)首先先求解定义域,然后求解导数,令导数大于零或者导数小于零,得到单调区间。需要对于参数a分类讨论。
(2)当a=1,若方程
有两个不同的实根,则可以分析函数y=f(x)的图像的变化情况,确定参数k的取值范围。同时借助于单调性证明不等式
(1)
时,
在
递增; 又
时
时,
在
递增;
递减
时,
在
递减;
递增 5分
(2)(ⅰ)由(1)知
在
递增;
递减 ∴
6分
又
,而
∴
所以
的取值范围是
8分
(ⅱ)由(ⅰ)不妨设
,则
∵
在
递减,∴要证
. 即证
.
即证
,即证
令
,
则
∴
在
递增 ∴
,即
,即
, ∴