Question

设，函数
（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）．    （Ⅱ）．   

本试题主要考查了导数的极值的必要不充分条件：导数为零的运用，以及给定函数单调区间，求解参数的取值范围的综合运用。
（1）中，因为是函数的极值点在，则必然在导数值为零，得到a的值，然后验证。
（2）利用函数在给定区间单调递增，则等价于，不等式对恒成立．，利用分类参数的思想，求解不等式右边函数的 最值即可。
解：（Ⅰ）
因为是函数的极值点，所以，即，
所以．经检验，当时，是函数的极值点．即．    6分
（Ⅱ）由题设，，又，
所以，，，
这等价于，不等式对恒成立．
令（），则，
所以在区间上是减函数，所以的最小值为．
所以．即实数的取值范围为