Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=1-

a

x

（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数?（x）=f（x）-g（x）在定义域上的最小值；
（Ⅱ）若方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若数列{a_n}的通项公式为an=f(

(2n+1)2

n(n+1)

)，它的前n项和为S_n，求证：Sn＞

3

4

n+

1

24

-

1

8(2n+3)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）我们易求出当a=1时，函数φ（x）的解析式及其导函数的解析式，利用导数法，判断出函数的单调性，从而求得最小值；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解，可转化为方程a=x-x³在区间[

1

2

，1]上有解，构造函数h（x）利用导数法求出函数的值域，即可得到实数a的取值范围；
（Ⅲ）利用放缩法及裂项法，我们可以求出a_k＞

3

4

+

1

8

（

1

2k+1

-

1

2k+3

），在进行求和，从而进行证明；

解答：解：（Ⅰ）a=1，代入g（x），定义域{x|x＞0}
可得?（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-1，（x＞0），
?′（x）=

x-1

x2

，
当x≥1时，f（x）≥0，f（x）为增函数；
当x＜1时，f（x）＜0，f（x）为减函数；
?（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，
?（x）_min=?（1）=0；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=g（x），可得e^2lnx=1-

a

x

，
可得a=x-x³求h（x）=x-x³，在区间[

1

2

，1]上求最值问题，
h′（x）=1-3x²，令h′（x）=0，可得x=

3

3

，
当x＞

3

3

时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当0＜x＜

3

3

时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
f（x）极大值=f（x）最大值=f（

3

3

）=

2 3

9

，
f（1）=0，f（

1

2

）=

3

8

，
∵方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解，
∴0≤h（x）≤

2 3

9

∴0≤a≤

2 3

9

；
（Ⅲ）数列{a_n}的通项公式为an=f(

(2n+1)2

n(n+1)

)，
可得a_n=ln

(2n+1)2

n(n+1)

，
∵由（1）可知，?（x）_min=?（1）＞0，即lnx＞1-

1

x

，
a_k＞1-

4k2+4k+1

k(k+1)

=

3

4

+

1

4

•

1

(2k+1)2

＞

3

4

+

1

4

•

1

(2k+1)(2k+3)

=

3

4

+

1

8

（

1

2k+1

-

1

2k+3

），
S_n=

n

k=1

ak＞

3

4

n+

1

8

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

3

4

n+

1

8

(

1

3

-

1

2n+3

)=

3

4

n+

1

24

-

1

8(2n+3)

，
即证；

点评：本题考查的知识点是导数在最大值，最小值问题中的应用，导数在证明函数单调性时的应用，函数恒成立问题，不等式与函数的综合应用，其中第一问的关键是利用导数法；第二问的关键是利用导数法，求出函数的最值，进而得到函数的值域，而第三问的关键是利用不等式证明的放缩法；