Question

9．椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（　　）

• A． $\frac{9}{16}$
• B． $\frac{9}{32}$
• C． $\frac{9}{64}$
• D． $-\frac{9}{32}$

Answer 1

分析 先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．

解答 解：设弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}=1\\ \frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1\end{array}\right.$，
两式相减得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，
即$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$=-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$，
即-$\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{2}）}$，
即-$\frac{9×2}{16×4}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{2}）}$，
即$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{2}）}$=$-\frac{9}{32}$，
∴弦所在的直线的斜率为$-\frac{9}{32}$，
故选：D

点评 本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．